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CAI與中學(xué)數(shù)學(xué)教育
四川省資陽中學(xué) 陳彬 2007/3/13
（接上頁）圖形加以對比或把某圖形的一部分局部放大。通過菜單能隨心所欲地切入畫面、文字、聲音，這使我們借助于計(jì)算機(jī)可以創(chuàng)設(shè)出最佳的教學(xué)情景。所有教過幾何的教師面對計(jì)算機(jī)提供的上述幫助都會(huì)興奮不已，當(dāng)幾何教改進(jìn)退兩難之時(shí)，教育技術(shù)無疑帶來了希望的曙光。看來歐氏幾何這一珍貴的遺產(chǎn)，不一定非成為沉重的包袱。
近來我們數(shù)學(xué)CAI課題組引入了“幾何畫板”，初步的反映表明：幾何能成為最受學(xué)生歡迎的課程之一。計(jì)算機(jī)對幾何教改的影響是深遠(yuǎn)的，它的確能改變學(xué)生對學(xué)習(xí)幾何的態(tài)度和方法，提高他們對幾何的認(rèn)識能力。那么在教育技術(shù)的支持下幾何教改的出路何在呢？我們的意見是不一定非要對歐氏幾何動(dòng)大手術(shù)。它的公理法還是有必要讓學(xué)生知道的。幾何是訓(xùn)練學(xué)生形象思維與邏輯思維能力的極好材料，但不應(yīng)把幾何課當(dāng)成純粹的思維訓(xùn)練課，而應(yīng)密切它與實(shí)際的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生用幾何。應(yīng)充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)的優(yōu)勢用豐富的圖形減少學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的困難、激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣，盡可能讓學(xué)生親自動(dòng)手“做”幾何。
順便提一下解析幾何與立體幾何。在傳統(tǒng)的解析幾何教學(xué)中，形數(shù)的結(jié)合不好表現(xiàn)，曲線作為動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡只能依靠想象，現(xiàn)在不同了。利用計(jì)算機(jī)可以測算出平面內(nèi)任一點(diǎn)的直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)，當(dāng)用鼠標(biāo)托動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化能及時(shí)顯示，可以通過動(dòng)畫生動(dòng)地表現(xiàn)曲線作為動(dòng)點(diǎn)的軌跡的形成過程，這無異將極大改善解析幾何的教學(xué)現(xiàn)狀。至于立體幾何，傳統(tǒng)教學(xué)的最大困難是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。幾年來我們的實(shí)踐表明，計(jì)算機(jī)同樣可以發(fā)揮它的積極作用。截面問題，折疊問題、側(cè)面展開、從不同的角度觀察圖形，空間圖形的分解與組合……這些傳統(tǒng)教學(xué)的困難，現(xiàn)在通過計(jì)算機(jī)得到了圓滿的解決�？傊�，計(jì)算機(jī)對幾何教改有著深藏的巨大潛力，在教育技術(shù)的支持下，21世紀(jì)的幾何教學(xué)似乎將有一個(gè)巨大的變革。
2、計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)概念教學(xué)
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)是重要的，也是困難的。經(jīng)驗(yàn)表明，讓學(xué)生理解某一數(shù)學(xué)概念有時(shí)要比教他們學(xué)會(huì)一個(gè)具體的解題技巧不知困難多少倍。有些內(nèi)容，例如函數(shù)概念、數(shù)列極限的“ -N”定義，一直是數(shù)學(xué)教學(xué)中傳統(tǒng)的難點(diǎn)。學(xué)生學(xué)過函數(shù)概念之后多數(shù)并不理解符號“f”的意義，學(xué)生學(xué)過極限定義之后有種聽天書之感。這促使我們探討概念教學(xué)的改革及計(jì)算機(jī)在其中所能發(fā)揮的作用。
應(yīng)該看到，造成概念教學(xué)困難的原因是多方面的。首先是對它的重視程度不夠。當(dāng)前在應(yīng)試教育的體制下，對解題教學(xué)的重視遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過概念教學(xué)，用于解題訓(xùn)練的時(shí)間與精力遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于對數(shù)學(xué)概念形成過程的剖析。實(shí)際上，后者涉及到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，本應(yīng)給予更多的研究。
數(shù)學(xué)概念離不開抽象思維及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表述，而抽象與嚴(yán)謹(jǐn)正是學(xué)生疏遠(yuǎn)數(shù)學(xué)的原因。計(jì)算機(jī)的可視化技術(shù)能對幾何教學(xué)提供生動(dòng)直觀的圖形，這容易為人們認(rèn)可，然而這又使人們認(rèn)為計(jì)算機(jī)所能表現(xiàn)的僅僅是“描述”式的數(shù)學(xué)，對于表現(xiàn)需要深層思考的數(shù)學(xué)概念，計(jì)算機(jī)恐怕是無能為力的。近年來我們的實(shí)踐消除了這種懷疑，教學(xué)軟件“數(shù)列的極限”在連續(xù)三屆學(xué)生使用的效果表明，計(jì)算機(jī)可以縮短數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離，有助于學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念。計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)概念教學(xué)的效果是傳統(tǒng)教學(xué)不可比擬的。究其原因，并非計(jì)算機(jī)本身具有這種教學(xué)才能，而是在計(jì)算機(jī)的支持下教師可以進(jìn)行比原來更有效的教學(xué)設(shè)計(jì)。
對概念教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)，必須對數(shù)學(xué)概念的形成過程進(jìn)行歷史的和學(xué)習(xí)心理的考察。數(shù)學(xué)概念的抽象其實(shí)是相當(dāng)困難的，有些甚至經(jīng)歷成百上千年的漫長過程。以函數(shù)為例，盡管從伽里略的著作里已經(jīng)看到樸素的函數(shù)思想，盡管1673年“函數(shù)”概念就由萊布尼茨首次提出，但今天學(xué)生們在教科書中學(xué)到的定義卻是經(jīng)過包括達(dá)朗貝爾、歐拉、柯西、狄里黑里(Dirichlet)等幾代數(shù)學(xué)家不斷演化的結(jié)果。函數(shù)概念的內(nèi)涵經(jīng)過了幾代人的努力才被凸現(xiàn)出來! 以極限概念為例，也包含著人類長期對“無限”過程的艱苦思考。在古代，人們早已有了關(guān)于極限的樸素思想，但極限定義的嚴(yán)格的形式化的語言表述卻直到19世紀(jì)才最后形成，那是給分析注入嚴(yán)密性的產(chǎn)物�，F(xiàn)在想來，學(xué)生在從教師或課本中接受這些數(shù)學(xué)概念時(shí)感到迷惑不解是太正常了!原因是思維的成果不經(jīng)自己頭腦的消化是不可能吸收的。學(xué)生固然無需完全重復(fù)先前人們抽象這些概念的思維過程，但重新經(jīng)歷其中某些重要的過程卻必不可少，當(dāng)前學(xué)生缺乏的恰恰是必要的抽象概念的思維過程。
對概念學(xué)習(xí)進(jìn)行心理分析是教學(xué)設(shè)計(jì)的另一個(gè)根據(jù)。著名心理學(xué)家皮亞杰提出：“如果認(rèn)識了一個(gè)概念的心理學(xué)基礎(chǔ)，這就意味著從認(rèn)識論上理解了這個(gè)概念”。從這個(gè)意義上講，數(shù)學(xué)概念的抽象需要堅(jiān)實(shí)的實(shí)驗(yàn)。與物理、化學(xué)、生物等學(xué)科不同，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的對象不是物質(zhì)材料而是思想材料。在自然界中本沒有數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、極限等物質(zhì)，只是由于有了人及人的活動(dòng)，這些作為人對自然界的概括與認(rèn)識，才成為（未完，下一頁）
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