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CAI與中學(xué)數(shù)學(xué)教育
四川省資陽中學(xué) 陳彬 2007/3/13
（接上頁）數(shù)學(xué)研究的對象。教育心理學(xué)認(rèn)為數(shù)學(xué)知識是建立在人對自身活動，運(yùn)算過程的反省抽象的基礎(chǔ)上。因此數(shù)學(xué)概念的象起源于學(xué)習(xí)與研究者的活動與運(yùn)算，而數(shù)學(xué)的形式化是運(yùn)算思維的必然結(jié)果。對學(xué)生來說，他的數(shù)學(xué)概念是在個別活動中構(gòu)造出來的。是他在活動中根據(jù)自身的經(jīng)驗(yàn)對知識的重組。皮亞杰把這種過程稱為“建構(gòu)”。經(jīng)過以上分析，我們或許可以找出傳統(tǒng)的概念教學(xué)的缺陷，并找到利于計(jì)算機(jī)輔助概念教學(xué)的策略。
傳統(tǒng)教學(xué)在講授概念時一個難以克服的困難是缺乏學(xué)生足夠的活動與實(shí)驗(yàn)，教師往往用自己的演講代替了學(xué)生自身的“建構(gòu)”過程。在課堂上提供的思維材料十分貧乏。利用計(jì)算機(jī)恰恰可以彌補(bǔ)這個缺陷，計(jì)算機(jī)能夠提供理想的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，能夠滿足學(xué)生個別活動與小組討論的要求，也便于創(chuàng)設(shè)富于啟發(fā)性的教學(xué)情景。所以計(jì)算機(jī)在改進(jìn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)方面有著巨大的潛力。
下面以數(shù)列的極限概念為例談?wù)勎覀兊慕虒W(xué)設(shè)計(jì)。
首先我們從“一尺之棰，日取其半”談起，問如此組成的數(shù)列隨時間的推移將怎樣變化？屏幕上此時生動地顯示出一尺之棰按日取其半的規(guī)律隨時間變化的情況。這比課堂上原來只是口頭講授更能激發(fā)學(xué)生的思考。隨后我們先后在屏幕上給出了數(shù)列前幾項(xiàng)的數(shù)值、在數(shù)軸上以及在直角坐標(biāo)系中表示數(shù)列前幾項(xiàng)的點(diǎn)動態(tài)地趨向極限的圖示。學(xué)生從以上創(chuàng)設(shè)的情景中完全能夠理解此無窮數(shù)列變化的趨勢是無限制地接近一個常數(shù)。這時我們在屏幕上以表格、數(shù)軸、直角坐標(biāo)系為背景，給出了關(guān)于數(shù)列極限概念的說明：“粗略地說：如果一個無窮數(shù)列 變到后來無限制地接近某一個常數(shù)A，就說這個數(shù)列的極限是常數(shù)A”。下面我們給出幾個具體的無窮數(shù)列，讓學(xué)生猜出它的極限。屏幕不單給出數(shù)列的前幾項(xiàng)的數(shù)值，用數(shù)軸和直角坐標(biāo)系給出表示數(shù)列前幾項(xiàng)的點(diǎn)，而且為學(xué)生提供了實(shí)驗(yàn)的環(huán)境。學(xué)生可以鍵入任意大的n的數(shù)值，計(jì)算機(jī)則馬上顯示相應(yīng)的數(shù)列 的數(shù)值。過去教師的講解現(xiàn)在變成學(xué)生的實(shí)驗(yàn)活動，實(shí)踐表明每個學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)都能猜出該數(shù)列的極限，這為數(shù)列極限的形式化定義打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。我們還設(shè)計(jì)了一個選擇題 還是 ？學(xué)生可以通過按鍵自由選擇，對每種選擇答案我們都在屏幕上給了詳盡的分析解答。以上的所有教學(xué)設(shè)計(jì)基于這樣一個指導(dǎo)思想：讓學(xué)生通過參與實(shí)驗(yàn)與運(yùn)算而不是聽教師講授自己領(lǐng)悟數(shù)列極限的概念，從感知到了解再過渡到形式化的定義。
對極限的形式化定義我們精心設(shè)計(jì)了逐次精確化的過程。數(shù)列極限的“ -N”定義，或許是中學(xué)階段學(xué)生最難接受的定義了。學(xué)生第一次遇到語句如此長的數(shù)學(xué)定義，加上其中包括那么多的數(shù)學(xué)符號 ： 、A、n、N、 ，要讓學(xué)生理解它，必須從學(xué)生可接收的粗略的描述極限的語言出發(fā)過渡到十分形式化的“ -N”定義。為此，我們在電腦屏幕上設(shè)計(jì)了如下的情景。在“如果一個無窮數(shù)列 變到后來無限制地接近某一個常數(shù)A，就說這個數(shù)列的極限是常數(shù)A”這句話的下面動畫式地依次顯示：(1) 接近某一個常數(shù)A；(2) 無限制地接近某一個常數(shù)A；(3) 變到后來無限制地接近某一個常數(shù)A。接著又在這三句話的后面依次顯示：(1) 是一個很小的正數(shù)；(2) 能夠要多小有多小，即對無論多小的正數(shù) 不等式 < 能夠成立；(3)對于預(yù)先給定的無論多小的正數(shù) ，只需取足夠遠(yuǎn)的項(xiàng)N，那么它以后所有的項(xiàng)都滿足 < .稍后以此為背景我們開出一個窗口顯示出數(shù)列極限的“ -N”定義。在此之后我們還通過具體例子用圖表顯示 的值；用模擬的放大鏡在數(shù)軸上顯示表示數(shù)列的點(diǎn)動態(tài)地趨向其極限的情況；為幫助學(xué)生理解 -N 為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了自由探試的環(huán)境：讓學(xué)生自由地鍵入 ，屏幕則顯示相應(yīng)的一個N及后面的五項(xiàng)的值和這些項(xiàng)與極限的誤差。通過反復(fù)實(shí)驗(yàn)，原來難懂的極限的“ -N”定義，現(xiàn)在變得十分容易理解了。
這個軟件的使用效果給我們的啟發(fā)是深刻的。它說明計(jì)算機(jī)能夠改善數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，可以利于計(jì)算機(jī)進(jìn)行比傳統(tǒng)教學(xué)更加優(yōu)化的教學(xué)設(shè)計(jì)，而教學(xué)軟件設(shè)計(jì)的關(guān)鍵卻不是計(jì)算機(jī)本身而是教師的教學(xué)觀。先進(jìn)的教學(xué)理論、豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合能夠產(chǎn)生最佳的教學(xué)效果。當(dāng)然開發(fā)這類軟件是很費(fèi)氣力的，不可能所有的教師都有條件自己開發(fā)教學(xué)軟件。事實(shí)上可以借助于如“mathcad”、“mathematica”這類現(xiàn)成的軟件組織學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，這對幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念肯定是有意義的。
3計(jì)算機(jī)與問題求解
1997年，一場人機(jī)大戰(zhàn)引起世人的矚目，這就是由IBM公司設(shè)計(jì)的超級電腦“深藍(lán)”和稱霸國際棋壇十二載的世界棋王卡斯帕羅夫的對弈。較量的結(jié)果，“深藍(lán)”以二勝一負(fù)三平的總成績贏得了勝利�，F(xiàn)在這場人機(jī)智慧大戰(zhàn)已偃旗息鼓，但卻給世人留下了一系列深刻的啟示。圍繞這場比賽的熱烈討論仍在繼續(xù)。“計(jì)算機(jī)在和人類的智慧挑戰(zhàn)”，這將對世界的未來將產(chǎn)生何種影響？
其實(shí)“深藍(lán)”作為下棋的專家，它的智（未完，下一頁）
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