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微積分建立的時代背景和歷史意義
（作者未知） 2010/9/12
微積分（Calculus）是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。
它是數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。
微積分學(xué)基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學(xué)的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學(xué)，但是在教學(xué)中，微分學(xué)一般會先被引入。
微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無限細(xì)分’就是微分，‘無限求和’就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運動的思想看待問題。比如，子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念。如果將整個數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。
極限和微積分的概念可以追溯到古代。到了十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作，分別獨立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，理論基礎(chǔ)是不牢固的。直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化。
微積分是與實際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個分支中，有越來越廣泛的應(yīng)用。特別是計算機的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。
客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后，就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了。
由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深，也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學(xué)中的最大的一個創(chuàng)造。
微積分學(xué)的建立
從微積分成為一門學(xué)科來說，是在十七世紀(jì)，但是，微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。
公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣�！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。
到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。
十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。
十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。
牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學(xué)來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的。
牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。
德國的萊布尼茨是一個博才多學(xué)的學(xué)者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一（未完，下一頁）
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