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線性代數(shù)的發(fā)展及其應(yīng)用
資源天下 2013/11/2 9:31:58
代數(shù)學是數(shù)學一個古老和重要的分支，歷史悠久。線性代數(shù)又是代數(shù)學中一個應(yīng)用廣泛和重要的分支，現(xiàn)簡要敘述其形成、歷史發(fā)展和一些簡單應(yīng)用。
一、代數(shù)學的形成和發(fā)展歷史
從代數(shù)學的發(fā)展歷史看，大體上分為三個時期。而在這三個時期中，人們將三個很不相同的東西都理解為代數(shù)學，也就是說這三個時期中說的代數(shù)學有很大差異。因此也就很難給“什么是代數(shù)學”下一個統(tǒng)一的定義。下面我們從三個不同時期的內(nèi)容來了解代數(shù)學，了解代數(shù)學的形成和發(fā)展歷史。
1. 第一個時期
這一時期大約從古代一直到十七世紀的樣子。在九世紀時，中亞地區(qū)(約783－850)，他在公元820年寫了一本書，其阿拉伯書名為“ilm al-Jabr wal Mugabalah”。 al-Jabr意為“整理”－ －即把負項移到方程另一邊變成正項；Mugabalah意為“對消”或“化簡” －－即指方程兩邊也可消去相同項或合并同類項。因此，該書若直譯應(yīng)為“整理與對消的科學”。在12世紀該書譯成拉丁文時書名為《Ludus algebrae et almugraba eque》.后來簡稱為Algebra。這樣，Algebra作為代數(shù)學的名稱，從那時起在歐洲一些國家使用。在我國，最早把Algebra音譯為“阿爾熱巴拉”，到1859年清數(shù)學家李善蘭棣么根(A.deMorgan)的書《Elements of Algebra》才正式把Algebra定名為“代數(shù)學”，一直沿用至今。
花拉子米的《代數(shù)學》內(nèi)容由三部分組成：①講述現(xiàn)代意義下的初等代數(shù)，其中有特殊的數(shù)學方程及解法，代數(shù)式的運算等；②討論各種實用算術(shù)問題；③列舉大量有關(guān)繼承遺產(chǎn)的應(yīng)用問題。
《代數(shù)學》傳入歐洲后，對歐洲數(shù)學的代數(shù)產(chǎn)生了重大影響。
應(yīng)該指出，公元一世紀編著而在公元263年又被我國數(shù)學家劉微的注譯《九章算術(shù)》中就已經(jīng)有一元二次方程，到七世紀，中國已能解三次、四次方程的正根，十一世紀能求數(shù)學系數(shù)高次方程的近似根，即秦九鞘方法。中國在代數(shù)學上的輝煌成就，可以說是當時世界上最先進的代數(shù)學。
在古代，為了解決某些數(shù)學問題而找到的定理和法則都是用語言把它寫下，因為那時字母表示法還沒有發(fā)明，后來漸漸意識到字母表示數(shù)的重大意義，即不僅用字母表示未知數(shù)，也用字母表示已知數(shù)和給定量。這樣一來，就使得代數(shù)學中一個定理和法則描述和表達極其明確和簡潔，這對于代數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生重大影響，是數(shù)學史上一個劃時代的偉大事件。從此開始，人們把代數(shù)學實際看成是關(guān)于字母計算、關(guān)于由字母所構(gòu)成的公式的變換和代數(shù)方程的科學。它與算術(shù)的不同在于算術(shù)永遠是對具體數(shù)字的運算，僅僅從這以后，甚至很復雜的數(shù)學法都易于觀察和了解。在用字母代表數(shù)的變遷中作出貢獻的首推韋達，而笛卡爾對此也作了不少工作。
這一時期代數(shù)學的另一特點是整個數(shù)學，無論是幾何學還是無窮小分析，都叫做代數(shù)學。這特別明顯表現(xiàn)在十七世紀歐拉所著的有名的《代數(shù)學引論》一書中，他當時把代數(shù)學定義為各種量的計算的理論，他的書包含有：整數(shù)、分數(shù)、二、三次方根計算、對數(shù)、級數(shù)、多項式的計算、二項式定理及應(yīng)用、線性方程組理論、一二三四次方程解法以及整數(shù)不定方程解法等等。
一般二次方程的求根公式最早出現(xiàn)在花拉子米的《代數(shù)學》一書中，這是花拉子米的最重要的貢獻。一直到十六世紀，三、四次方程的求根公式相繼被意大利數(shù)學家菲洛、塔爾塔里亞和費拉里(1522－1565)所找到。
2. 第二個時期
在十八世紀和十九世紀初，代數(shù)學的問題之一，即代數(shù)方程的解法被認為是中心問題。因為在十六世紀意大利數(shù)學家在求得三、四次方程的一般解法后，人們就全國來求五次或五次以上一般方程的代數(shù)解法，當時一些最偉大的數(shù)學家如卡丹、笛卡兒、牛頓、歐拉、達朗貝爾、拉各朗日、高斯、阿貝爾、伽羅華以及斯圖母等等，創(chuàng)造了與這個問題有關(guān)的大規(guī)模的復雜理論。如高斯在1799年證明了有名的代數(shù)學基本定理，笛卡兒特別是斯圖母于1835年給出了關(guān)于實根個數(shù)的判定法，等等，對代數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生重要影響。但是，雖然經(jīng)過大多數(shù)數(shù)學家的頑強努力，而用根號解高于四次方程的問題仍懸而未決。當1824年一個年青的有天才的挪威數(shù)學家阿貝爾(1802－1829)的著作出版時，使當時所以數(shù)學家都大為驚奇，他證明了如果方程的次數(shù)大于等于5，且系數(shù)看出字母，那么任何一個由這些系數(shù)組成的根式都不可能是該方程的根。原來一切國家的最偉大的數(shù)學家三個世紀以來用根號解五次或更高次的方程，之所以不能獲得成就，只因為這個問題根本就沒有解。
但是，這并不是問題的全部，代數(shù)、方程理論的最關(guān)鍵之處仍留在 面，阿貝爾只是證明了一般的五次或五次以上的方程不能用根號解，但并不排除特（未完，下一頁）
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