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用“點差法”巧解圓錐曲線問題
江蘇省高淳中等專業(yè)學(xué)校 喻國忠 2016/6/13 20:53:34
解析幾何是高考的重點內(nèi)容，而圓錐曲線又是解析幾何的重點、難點知識。這里面，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題綜合性強，涉及知識面較多，運算量大，題型靈活多變，常常是打擊學(xué)生們學(xué)習(xí)興趣的罪魁禍首。
直線與圓錐曲線相交形成的弦中點、對稱問題等，我們稱之為圓錐曲線的“中點弦”問題。解這類中點弦問題的常規(guī)做法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助根的判別式及韋達定理中根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式求解，但運算過程復(fù)雜，計算量偏大，解題效率低，尤其是對于基礎(chǔ)較差、計算能力較弱的學(xué)生來說，很容易算錯。而使用“點差法”來進行求解中點弦問題，往往可以使解題過程化繁為簡，優(yōu)化解題過程，出奇制勝。
所謂“點差法”，就是在求解 “中點弦”問題時用到的一種“代點作差”的解題方法，其特點是代點作差后可巧代直線斜率和中點坐標，進而通過“設(shè)而不求”以達到減少計算量的目的。使用“點差法”時，一般分三個步驟進行：設(shè)點、作差、檢驗。下面試舉幾例，感受“點差法”在解題過程中的妙用。
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評注：本題中雙曲線屬未封閉曲線，且點M在曲線外，則被點平分的弦可能不存在�！包c差法”解題，其過程是無法保證直線與雙曲線相交，因此還必須對所求得直線方程的存在性進行驗證。如果忽視對判別式的檢驗，將得出錯誤的結(jié)果，請務(wù)必小心。
綜上：在解析幾何中，特別是在解“中點弦”問題時，“點差法”確實好用，避免了大量的運算，也簡化了解題思路，但同時也務(wù)必要細心，要注意到其使用的局限性。只要我們平時認真觀察，注意積累，注意通性通法，重視具有普遍意義的方法和相關(guān)的知識的學(xué)習(xí)，突出對主干知識、數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會，一定能發(fā)現(xiàn)更多的、更好的、有價值的數(shù)學(xué)資源，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。
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