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教學的深入與淺出
吳明華 2009/4/28
有成語“深入淺出”，指講話或文章的內容深刻，語言文字卻淺顯易懂．欲做好課堂教學這篇“文章”，又何嘗離得開深入與淺出呢？特別是數學教學，由于內容及其思想的深刻性是學科的重要特征，因此深入與淺出都成了值得研究的問題．
“中學數學核心概念、思想方法體系及其教學設計”課題正是針對中學數學課堂教學中“深入”與“淺出”問題的一種有效研究．在第七次集體活動的兩堂“曲線與方程”研究課(桂思銘老師和郭慧清老師執(zhí)教)引起大家廣泛思考．結合兩位教師的設計、課堂教學、說課和課題成員的討論以及課題會議后教師的議論，筆者愿和讀者就數學教學中的“深入”與“淺出”問題作一些探討．
一、深入概念核心
就內容來講，一個概念的核心就是此概念的內涵本質．但教學過程中學生（甚至還有教師）對概念的內涵本質常常缺乏理解，認識不夠深刻．其實，認識概念的本質有一個層次的深入問題，如同手剝一支春筍，筍殼層層剝來，春筍性質不變但本質逐步顯現．
1．對曲線與方程概念本質的第一層認識
曲線與方程的概念分解為“曲線的方程”和“方程的曲線”兩個概念，本質是（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解（純粹性）；（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點（完備性）．這是教材直接呈現的內容，對教師來說沒什么問題，對學生來說只是有點“顛來倒去”的復雜但也并不難于理解．
2．對曲線與方程概念本質的第二層認識
追問一個問題：“曲線的方程”和“方程的曲線”實際上是在講一個什么問題？郭老師這樣概括：實際上是兩個點集的等價．一個是曲線上所有的點構成的集合，另一個是方程所有的解所對應的點構成的集合．如果這兩個集合相等，那么方程是曲線的方程，曲線是方程的曲線.筆者贊同這樣的分析．這是在給定一個方程和一個曲線的前提下問題的本質和關鍵所在，因為學生在學習本內容之前，對這兩個集合的區(qū)別是缺乏重視的，而這一點恰恰是本課的主要教學目標之一．
3．對曲線與方程概念本質的第三層認識
再追問一個問題：“曲線的方程”和“方程的曲線”是哪來的？兩位老師作了回答：因為有了坐標系．什么是坐標系？“直角坐標平面是構成平面直角坐標系的物質基礎……而平面直角坐標系則是點P與其坐標之間一套對應法則，也就是從點到數，從數到點的相互轉化的映射．”①“在建立平面直角坐標系的條件下，平面軌跡上的動點P的坐標可表示為 ，其中 都是變量，它們受軌跡條件M的制約，通過軌跡條件M的解析化，即得含 的方程 ．”①事實上，有了坐標系，點（幾何）與坐標（代數）建立了對應；有了軌跡條件的制約，坐標變量的自由度受到限制．特別地，當軌跡條件M最終可解析表示為方程 時，就自然形成了曲線與方程的概念．
對于同一個數學概念，人們可以從不同的角度，以不同的深度去剖析它的本質．學習一個概念取決于對它的理解，而理解的含義就應該是對概念本質的把握．
二、觸及思想方法
所謂數學思想方法，是數學知識在更高層次上的抽象和概括, 它蘊涵在數學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中．數學教學的深入，不僅表現在對內容本身的深入理解上，領悟內容所帶來的數學思想方法是另一種方式的深入．在曲線與方程的概念中，思想方法極其豐富．
1．等價思想
等價思想直接附著在“曲線的方程”和“方程的曲線”這兩個孿生概念上．一方是曲線C，另一方是方程 ，一個是幾何對象，另一個是代數對象，在一定的條件下它們是等價的．有了曲線與方程的概念，以后可以“指著曲線說方程”、“指著方程說曲線”，譬如，我們說拋物線 ．
正如本文前面提到的，在這次課題研究活動上還揭示了曲線與方程概念學習過程中的一個等價思想，即實際上是兩個點集的等價．在這種思想指導下，以后無論是求曲線的方程還是畫方程的曲線，都會自覺地去思考概念的純粹性與完備性問題．
2．坐標法思想
為什么一個幾何對象能與一個代數對象等價呢？這就是坐標系的功勞，是坐標法思想的直接產物．所謂坐標法思想，就是通過以坐標為對象的代數研究來獲得幾何結論的思想與方法．這也是一種數形轉化思想，是解析幾何的核心思想．
坐標法思想“三步曲”②：第一步，建立坐標系用坐標表示有關的量；第二步，進行有關的代數運算；第三步，把代數運算結果“翻譯”成幾何關系．結合曲線與方程的概念，坐標法思想下形成了解析幾何的兩個基本問題，一個是已知曲線求方程，另一個是已知方程研究曲線．
3．軌跡思想
簡單地說，將幾何圖形看成動點軌跡的思想就是軌跡思想．從點與坐標的對應到曲線與方程的對應，其中軌跡思想是使其必然的關鍵因素．我們說平面是二維的，在坐標平面內的自由動點的軌跡就是整個平面．我們說平面曲線是（未完，下一頁）
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