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例談高中數(shù)學(xué)解題中語言等價轉(zhuǎn)化的問題和策略
上海市嘉定區(qū)安亭高級中學(xué) 仇建燁 2020/12/23 11:24:24
摘要：將數(shù)學(xué)問題等價轉(zhuǎn)化為自己熟悉的語言表達有利于提高解題效率.然而有些學(xué)生在等價轉(zhuǎn)化過程中存在著一些問題.筆者舉例分析了具體存在的問題，并提出了應(yīng)對問題的策略.
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題 語言 等價轉(zhuǎn)化
數(shù)學(xué)問題的表達形式千變?nèi)f化，數(shù)學(xué)問題不會完全按照解題者所掌握的數(shù)學(xué)語言來呈現(xiàn).將自己不是很熟悉的表達形式轉(zhuǎn)化成自己熟悉的表達形式，將更加有利于自己解題，增加自己做對的可能性[1].教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生解題效率低的一大原因是學(xué)生從題目原有表達形式中難以挖掘解題信息，理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，等價轉(zhuǎn)化為自己熟悉的語言表達，形成解題思路.本文結(jié)合幾個例題分析了解題中語言等價轉(zhuǎn)化存在的問題，應(yīng)對問題提出了幾點策略.
一、解題中語言等價轉(zhuǎn)化存在的問題分析
（一）思維定勢，想不到對問題進行等價轉(zhuǎn)化
對于數(shù)學(xué)中的某些問題，我們常常采用常規(guī)方法解決，學(xué)生在反復(fù)練習(xí)中就形成了比較穩(wěn)定的思維路線，就是我們所說的思維定勢.這有助于我們解題時快速形成解題思路，但如果在解題過程中某個細節(jié)處理有障礙時，我們也常常難以快速轉(zhuǎn)化問題，轉(zhuǎn)變思路.
例1（1）已知復(fù)數(shù) 滿足 ，求 的取值范圍.
（2）已知復(fù)數(shù) 滿足 ，求 的取值范圍.
說明：看到關(guān)于復(fù)數(shù)的問題，有些同學(xué)會自然想到用復(fù)數(shù)的一般形式解題.解題過程如下：第（1）題由 可得 .而 .因為 ，所以 ，所以 .同理第（2）題中 ，可是這里不好用其中一個變量代數(shù)式表示另一個變量，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，所以思路就斷了.如果學(xué)生糾結(jié)于此，就不容易想到等價轉(zhuǎn)化問題，如從幾何角度解題，將 看作單位圓上的動點 與定點 之間的距離；或從參數(shù)方程角度思考，令 ，問題便可迎刃而解.
（二）缺乏經(jīng)驗，不熟悉問題的等價表達形式
同一個問題可能有多種不同的表達方式，學(xué)生由于題目練得少，接觸問題的不同表達形式較少.再加上學(xué)生只顧做題，很少總結(jié)常見知識和題目的不同表達形式，更加不熟悉問題的不同的等價表達形式.如果問題以一個學(xué)生不熟悉的表達形式呈現(xiàn)出來，學(xué)生往往就難以快速等價轉(zhuǎn)化為自己所熟悉的形式.
例2 已知函數(shù) ，若對于任意的 ，都有 ，求 的最小值.
說明：此題說白了就是求函數(shù) 的最小正周期的 .“對于任意的 ，都有 ”可等價轉(zhuǎn)為“ 、 分別為函數(shù)的最小值、最大值”，那么結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn) 的最小值即為函數(shù)的最小正周期的 .但學(xué)生不熟悉問題的表達，被題目看似復(fù)雜的表象迷惑了，反而不知如何等價轉(zhuǎn)化.
（三）書寫粗疏，不能夠正確將問題等價轉(zhuǎn)化
很多時候?qū)τ谀承﹩栴}，學(xué)生是有能力解決的.但是在解題過程中有時候由于書寫粗疏，如符號未變、漏寫參數(shù)的范圍、省略詞語等不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣，造成問題沒有能夠正確等價轉(zhuǎn)化，從而影響解題.
例3 若關(guān)于 的方程 有解，求實數(shù) 的取值范圍.
說明：對于此題，學(xué)生不難想到利用換元法轉(zhuǎn)化.令 ，將原題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于 的方程 有實數(shù)解，直接用 求實數(shù) 的取值范圍.這樣一來就會出錯了，因為這不是等價轉(zhuǎn)化，究其部分原因是因為學(xué)生的書寫不嚴(yán)密，換元后沒有注明參數(shù)的范圍，導(dǎo)致沒有正確將問題等價轉(zhuǎn)化.
二、應(yīng)對解題中語言等價轉(zhuǎn)化問題的策略
（一）學(xué)會多角度看問題，順其自然等價轉(zhuǎn)化問題
同一個問題可以嘗試多個角度分析，多種方法解題.“一題多解”有利于鍛煉學(xué)生思維的靈活性，活躍思路，讓學(xué)生能根據(jù)題目給出的已知條件，并結(jié)合自身情況，靈活地選擇解題切入點[2].由此，可以順其自然將題目中的條件等價轉(zhuǎn)化為自己熟悉的形式，便于解題.
例4求不等式 的解集.
說明：此題是含絕對值不等式問題，可以從絕對值的定義這個點出發(fā)，分三種情況（ 、 和 ）討論，去絕對值轉(zhuǎn)化為自己熟悉的不等式求解；也可引導(dǎo)學(xué)生從絕對值的幾何意義這個角度出發(fā)分析問題，自然想到將問題等價轉(zhuǎn)化為：求數(shù)軸上到 和 對應(yīng)點距離之和大于 的點對應(yīng)實數(shù)的集合.借助圖形直觀解決問題.
（二）注重習(xí)題變式訓(xùn)練，熟悉問題等價表達形式
同一個問題可能會以不同的表達形式給出，幫助學(xué)生熟悉常見問題的不同表述是積累感性經(jīng)驗的有效而直接的形式.采用連續(xù)呈現(xiàn)多個變式的方法，有利于使所提供的變式同時儲存于學(xué)生的學(xué)習(xí)記憶中，從而熟悉問題等價表達形式.
例5變式題組
（1）已知函數(shù) 的定義域為 ，求實數(shù) 的取值范圍.
（2）已知不等式 的解集為 ，求實數(shù) 的取值范圍.
（3）對于任意 ，不等式 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍.
（4）已知函數(shù) 的圖像全部在 軸的上方，求實數(shù) 的取值（未完，下一頁）
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