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伽利略坐標(biāo)變換與洛侖滋坐標(biāo)的比較
（作者未知） 2009/7/14
摘要：伽利略坐標(biāo)變換的核心思想是經(jīng)典力學(xué)中的絕對(duì)時(shí)空觀。 經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為物體的運(yùn)動(dòng)雖在時(shí)間和空間中進(jìn)行但是時(shí)間和空間的性質(zhì)與物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)彼此沒有任何聯(lián)系。其實(shí)，這只是傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)束縛了人們的思想。當(dāng)解決高速運(yùn)動(dòng)的問題時(shí)，伽利略變換不在適用，這時(shí)就要用到狹義相對(duì)論和洛侖滋坐標(biāo)變換。
關(guān)鍵詞：坐標(biāo)變換 相對(duì)性 絕對(duì)性
一． 伽利略坐標(biāo)變換的推導(dǎo)（程守洙，江之水《普通物理學(xué)》第5版 高等教育出版社第33頁）
設(shè)有兩個(gè)參考系，相應(yīng)的坐標(biāo)為K和K’（OXYZ和O’X’Y’Z’），各對(duì)應(yīng)軸相互平行，其中X軸與X’軸重合，它們相對(duì)作勻速直線運(yùn)動(dòng)。取K為基本坐標(biāo)系，K相對(duì)K’的速度為v，v的方向沿X軸，坐標(biāo)系K’就是個(gè)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系。以O(shè)和O’重合時(shí)作為計(jì)算時(shí)間的起點(diǎn)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)P在K和K’系中的位失分別為r和r’,并以R代表K’系原點(diǎn)O’的位失，可得r’=R+r,同一運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間，由K系觀測(cè)為t，由K’系觀測(cè)為t’,日常經(jīng)驗(yàn)告訴我們，二者是相等的，既t=t’.綜上所述，質(zhì)點(diǎn)在K’系中的空間坐標(biāo)（x’ y ’z’），時(shí)間坐標(biāo)t,在K系中的空間坐標(biāo)（x y z）,時(shí)間坐標(biāo)t之間的關(guān)系式為
r’=r-vt t=t’
二． 洛侖滋坐標(biāo)變換公式的推導(dǎo)（程守洙，江之水《普通物理學(xué)》第五版 高等教育出版社第234頁）
我們?nèi)匀徊捎猛茖?dǎo)伽利略坐標(biāo)變換的兩個(gè)坐標(biāo)系K和K’，容易理解y=y’,z=z’。我們認(rèn)為時(shí)間和空間都是均勻的，因此它們之間的變換關(guān)系必須都是線性關(guān)系。參考伽利略坐標(biāo)變換
x=x’+vt’ x’=x-vt 而寫出如下變換x=k(x’+vt) x’=k’(x-vt) （1） 根據(jù)狹義相對(duì)論的相對(duì)性原理，K和K’是等價(jià)的，上面兩個(gè)等式的形式就應(yīng)該相同，所以兩式中的比例常數(shù)k和k’應(yīng)該相等，既k=k’，這樣x’=k(x-vt) （2）
為了獲得確定的變換法則，必須求出常數(shù)k，根據(jù)光速不變?cè)�，假設(shè)光信號(hào)在O和O’重合的瞬時(shí)（t=t’=0）就由重合點(diǎn)煙OX軸前進(jìn)，那么在任一瞬時(shí)t光信號(hào)到達(dá)點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)兩坐標(biāo)系來說分別是
x=ct x’=ct’（3） 把式（1）和式（2）相乘，在把（3）式代入，得
xx’=k²(x-vt)( x’+vt’) c²tt’=k²tt’(c-v)(c+v)
由此可得k=
將k值代入（1）（2）兩式，得
x= x’=
從這兩個(gè)式子中消去x或x’得到關(guān)于時(shí)間的變換公式，消去 x’得
t’=
同樣去x后得t
t=
三． 伽利略坐標(biāo)變換與洛侖滋坐標(biāo)變換成立的條件
由伽利略坐標(biāo)變換的推導(dǎo)可以看出：從K系看，它認(rèn)為r和R是自己觀測(cè)的值，而r’是K’系觀測(cè)的值。我們知道，矢量相加必須是由同一坐標(biāo)系確定的值，所以只有K系觀測(cè)得的值確實(shí)與由K’系觀測(cè)得的r’值相同，對(duì)K系才有r’=R+r。由此可見，上式成立的條件是：空間兩點(diǎn)的距離不管從哪個(gè)坐標(biāo)系測(cè)量結(jié)果都應(yīng)相同，這就是空間的覺絕對(duì)性。其次，t=t’表明時(shí)間與坐標(biāo)系無關(guān)，這個(gè)結(jié)論叫做時(shí)間的絕對(duì)性。所以，伽利略坐標(biāo)變換是在經(jīng)典力學(xué)時(shí)空觀的基礎(chǔ)上建立的。從洛侖滋坐標(biāo)變換公式的推導(dǎo)可以看出，我們必須用到光速不變?cè)砗酮M義相對(duì)論的相對(duì)性原理。光速不變?cè)碇赋�，光速在一切慣性參考系中都相同。狹義相對(duì)論的相對(duì)性原理指出，所有的物理定律在一切的慣性參考系都具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式。這就使得在推導(dǎo)過程中k=k’提供證據(jù)，進(jìn)而才能推出伽利略坐標(biāo)變換。同時(shí)在推導(dǎo)過程中我們引入了一條公設(shè)，既時(shí)間和空間都是均勻的，這也是洛侖滋坐標(biāo)變換成立的必要條件。所以洛侖滋坐標(biāo)變換相對(duì)論時(shí)空觀的基礎(chǔ)上建立起來的。
四． 伽利略坐標(biāo)變換與洛侖滋坐標(biāo)變換的適用范圍
在經(jīng)典力學(xué)中，伽利略相對(duì)性原理是和牛頓運(yùn)動(dòng)定律，經(jīng)典力學(xué)時(shí)空觀交織在一起的。經(jīng)典力學(xué)是研究低速宏觀物體的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于高速運(yùn)動(dòng)不在適用。伽利略坐標(biāo)變換是在經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)上建立起來的，所以同時(shí)也只能適用經(jīng)典力學(xué)的范圍。
從洛侖滋坐標(biāo)變換公式中可以看出x’是x，t的函數(shù)，t’也是x,t的函數(shù)，并且還都與兩個(gè)坐標(biāo)系之間的相對(duì)速度v有關(guān)。這樣洛侖滋坐標(biāo)變換就集中反映了相對(duì)論關(guān)于時(shí)間，空間和物質(zhì)運(yùn)動(dòng)三者緊密聯(lián)系的新概念。當(dāng)v《c時(shí)洛侖滋坐標(biāo)變換就轉(zhuǎn)變?yōu)橘だ宰鴺?biāo)變換，這正說明洛侖滋坐標(biāo)變換是對(duì)高速運(yùn)動(dòng)與低速運(yùn)動(dòng)都成立的變換，它包括了伽利略坐標(biāo)變換，因此，洛侖滋坐標(biāo)變換公式適用更廣。
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