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什么是分岔
（作者未知） 2009/7/31
主持人：好，請武教授馬上給咱們帶來一場精彩的學術(shù)報告，深入淺出的學術(shù)報告，叫做“什么是分岔”。好，有請。
武際可：我今天講的是關(guān)于分岔的問題。分岔在英文叫做Bifurcation，這個詞在中文里頭大概有六種翻譯，我看到的有六種翻譯，每個含義用詞都用得不一樣，有的叫分叉、有的叫分枝、還有的叫分歧等等。這個概念最近幾十年大概在自然科學甚至于社會科學、經(jīng)濟學等等領(lǐng)域用得很多，比如說化學、物理、力學、數(shù)學都很多，還有氣象學等等吧，說明它比較重要。那么，這個名詞不像剛才主持人說的道路分岔那么具體，它是一個抽象概念，為了說明這個概念，我們這樣來講，先從一個例子開始，講一個例子。這是一個圓，上頭有一個光滑的環(huán)，對吧？我把它這個大圓垂直放的時候，那么這個小環(huán)總是在下頭平衡，大家看清楚了，我怎么放它都是平衡的，最后滑在下頭，現(xiàn)在我讓這個環(huán)轉(zhuǎn)起來，對吧，這樣轉(zhuǎn)，我給這個圓環(huán)這樣一個角速度，轉(zhuǎn)起來以后，如果我這個角速度很小，大家看了，這個小環(huán)呢，還是呆在這個底下，這個位置總是一個平衡位置，等我轉(zhuǎn)的這個角速度大到某一定的程度，大家注意看，現(xiàn)在這個環(huán)就跑在另外一個地方平衡，如果我們?nèi)∫粋�角度表示這個小環(huán)的位置的話，那么我們就可以列出一個平衡方程來，這個很簡單，這個小環(huán)受三個力，一個是離心力、一個是重力、還有一個大環(huán)給它的約束反力，這兩個力的正切應該就等于這個反力，所以那個方程很容易寫出來。寫出這個方程，帶星號的那個就是這個平衡方程，兩個慣性力和重力之比就等于那個約束反力，約束反力的角度，這個方程把它上頭的質(zhì)量和下頭的質(zhì)量消掉以后就得到下頭，一分解因式正好是兩個，一個是sinθ；另外一個就是括弧里頭這個，這個方程有兩個解，一個解就是上頭的θ等于零，就是永遠這個角度等于零，放在這個位置是一個平衡點，還有一個解呢，是下頭那個表示的這個解，下頭那個式子表示呢，就是我這個角速度使得括弧里頭的那一項變成一的時候，θ就開始，從零開始要往下飛了，在一定的角速度就離開原來的平衡點，然后跑到另外一個平衡點了。我們看到這個問題的解呢，實際上是兩個解，兩支，兩支都隨著Ω變，一支就是θ永遠等于零，就是這一支，另外一支是那一支，這邊是對稱的，另外一邊我沒有畫，這兩支的焦點T就是分岔點，我們就說的分岔點。這個問題是一個生活當中我們應該看到的最常見的一個分岔問題，那么我們就問，一個分岔問題需要一些什么條件呢？我把它歸結(jié)有需要三個條件：第一個條件，要有一個參數(shù)系統(tǒng)描述這個客觀系統(tǒng)的狀態(tài)，我們這個例子里頭就是這個角度，這個角度不同，平衡的位置就不同；第二個，要有一個描述這個系統(tǒng)運動的參數(shù)，我剛才說的這個Ω，這個角速度，要有這么一個參數(shù)；第三個，要有一個平衡方程，要有控制整個系統(tǒng)發(fā)展過程的一個平衡方程。
剛才我們看到的帶星號的那個方程就是這個方程。那么我們一條一條來看。第一條這個參數(shù)呢，我這個問題、這個參數(shù)很簡單，就是一個θ，就是這個角度。一般的問題里頭，這個參數(shù)可以多個，比如說我下頭還有一個環(huán)呢？就可能有兩個θ，兩個角度。這個不僅如此，我要描述一架飛機的話，可能是很多的角度，甚至于好多個函數(shù)，所以描述狀態(tài)不僅僅是一組數(shù)、若干個數(shù)，還可能是要求若干個函數(shù)，所以一旦這個描述的參數(shù)定了以后呢，再復雜的系統(tǒng)我們也應該可以描述，所以我們說，只要有了足夠復雜的系統(tǒng)，我們從天上的白云、海里的波浪、化學反應罐里頭的反應過程還是股票市場上的起伏，這個都可以描述。第二，要有一個表征過程的參量，剛才說的是Ω，這個角度，角速度。這個長度、速度、加速度，還有溫度、壓力都可以作為這種參數(shù)。第三，要有一組方程，剛才我們說的這個方程，相對簡單，只有一個方程就夠了，在實際問題要有很多個方程，有的方程連立起來可能要上千上萬，甚至于有的要遇到微分方程，就是函數(shù)滿足的方程，但是有一條，這些方程必須是非線性的，也就是說光由一次項組成的這些方程是沒有分岔的，必須要有非線性的項，所以我們經(jīng)常說，分岔也是一個實質(zhì)的非線性問題。
我們注意到，也不是所有的非線性問題都有分岔，比如說我們畫一個彎曲的線，這條線是非線性的，直線才是線性的，但是它沒有分岔，必須有兩支交叉在一起的才有分岔，所以這樣一個情況呢，但是，我剛才說彎的沒有分岔的這個雖然是非線性，它任何一小段可以拿直線來代替，拿線性的來代替，分岔不行，在分岔點附近是不可能把它拿直線來代替的，所以我們說，分岔是一個實質(zhì)的非線性問題，它根本在無限小的范圍內(nèi)也不可能把它線性化。所以，總結(jié)前頭我們說的這段話呢，就是說第一，分岔是一類問題當中有多個性質(zhì)上完全不同的解，交叉在一起，這個交叉點就是所謂的分岔點；第二，分岔一般伴隨有事物性質(zhì)上的突變，一種狀態(tài)變?yōu)樾再|(zhì)上差別很大的另外一種狀態(tài)；第三，分岔是實質(zhì)的非線性問題。我們來看，分岔實際上是一種自然界和社會上的（未完，下一頁）
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