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相同元素和不同元素對計數(shù)和概率的影響小議
（作者未知） 2009/10/5
相同元素和不同元素在有的書上又被稱為"不可辨元素"，"可辨元素 "，就是說看待相同元素時是辨別不出來的，計數(shù)時結(jié)果會少一些，但不同元素計數(shù)時結(jié)果就相應(yīng)的多了。但字面上的相同不等同于實質(zhì)上的不可辨，字面上的不同有時又可策略地使之相同，不需要辨別。本文針對計數(shù)問題和概率計算中出現(xiàn)的一些因元素相同與不同而引起的爭議闡述了自己的觀點，并不權(quán)威，權(quán)且爭鳴，希望各位同行提出寶貴意見。
問題：8個完全相同的小球放入三個標號分別為1，2，3的盒子里，問8個小球都放入1號盒子的概率是多少？其中1個小球放入1號盒子，其他7個小球都放入2號盒子的概率呢？
我們在用等可能事件概率公式P= 求事件的概率時，要注意使用的前提是事件為等可能事件，但具體問題中事件是不是等可能的要看事件發(fā)生的可能性是否相等，如果不是等可能的要想辦法轉(zhuǎn)化為等可能的事件來處理 。拿擲一枚硬幣兩次這個事件來說，就有人認為基本事件的總數(shù)是三個，即"正正"，"正反"，"反反，"現(xiàn)在我們都認同的是這里的事件"正反"和其他的兩種情況不是等可能的，那么如何轉(zhuǎn)換不等可能事件為等可能事件呢，我認為需要把不等可能的事件細分到等可能的基本事件上。不管從理論上還是從實踐上，事件"正反"細分上應(yīng)該是"正，反"，"反，正"這兩個基本事件，而樣本空間是"正，正"，"正，反"，"反，正"，"反，反"這四種基本事件，它們才是等可能出現(xiàn)的。
注意到問題中提到的8個小球是形狀大小顏色完全相同的，有種意見就認為它們是相同元素，把這些小球放入標有序號的三個盒子里的基本事件總數(shù)是45種，即按兩個空盒，一個空盒，無空盒分三類，分別是C31，C31 C71，C72種，后兩類是用插板法計算的。而且認為這45種情況是等可能出現(xiàn)的，所以問題中的兩問答案都是1/45.
我認為這種觀點錯誤！ 這些小球雖然表面上看上去完全相同，但它們是作為物質(zhì)世界的實體形式出現(xiàn)的，并不是相同元素。
我這里提一個"物質(zhì)元素"， "抽象元素"的概念來形象地區(qū)分一下不同元素和相同元素。萊布尼茨說："世界上沒有完全相同的兩片樹葉"，凡是問題中涉及到的元素是世界上客觀存在的實物個體，比如球，書本，人等等這些都是"物質(zhì)元素"，不管說它們彼此完全相同還是不同，我們考慮概率時都要把它們看作是"不同元素"，是可以并需要辨別的；而"抽象元素"就是經(jīng)過抽象概括而得到的一些名詞概念，比如說數(shù)字1，2，3，……，字母圖形符號"a,b,c"， "△，□，☆"，還有名額，榮譽稱號，顏色等等這些元素，考慮排列組合概率時它們就是貨真價實的"相同元素"，是不可辨的。
"物質(zhì)元素"既然是"不同元素"，考慮概率時就要看如何算才是等可能的。意見中提到事件分三類，這三類事件的概率就不是等可能的。8個小球都放入1個盒子的可能性顯然比分別放入三個盒子的可能性小。我們把小球看成是不同元素，每個小球放入盒子都有三種等可能結(jié)果，根據(jù)分步計數(shù)原理，基本事件總數(shù)是38種，因此8個小球都放入1號盒子的概率是1/38，而1號盒子放一個，2號盒子放7個的概率是8/38，顯然不是等可能的。（注：也可以按獨立重復試驗來計算）
從這個角度出發(fā)，假如把問題改成"把8個字母a填入三個格子里，問1號格子里填8個a以及1號格子填一個a,2號格子填7個a的概率，則因為是"抽象元素"，視為相同不可辨的元素，從而基本事件就是45種，這兩種結(jié)果都是等可能的，概率都是1/45.
但需要說明的是，如果只是要求計數(shù)，而不考慮概率時，我們還得看問題是從哪個角度提的。下面從不同方向來設(shè)問：⑴ 8個分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8的小球放入三個標有1，2，3號的盒子里，有多少種不同放法？答案是38 種，側(cè)重球彼此不同；⑵ 8個完全相同的小球放入三個標號為1，2，3的盒子里，有多少種不同放法？答案是45種，小球雖是"物質(zhì)元素"，但沒有提及是否等可能，只涉及放置的種類，此時按相同元素來處理。⑶ 8個完全相同的小球放入三個標號為1，2，3的盒子里，有多少種等可能的不同放法？答案變成了38，因為強調(diào)等可能的放，與概率相關(guān)。⑷（未完，下一頁）
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