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許寶騄對概率論與數(shù)理統(tǒng)計的卓越貢獻
（作者未知） 2010/5/30
（接上頁）數(shù)定律。
第一個強大數(shù)定律由法國數(shù)學家博雷爾( Email Borel, 1871—1956)在1909年對伯努利試驗場合建立。他證得若試驗次數(shù)無限增加時,頻率將趨于概率。博雷爾的工作激起了數(shù)學家沿這一嶄新方向的一系列探索,其中尤以柯爾莫戈羅夫(A. H. Kolmogorov, 1903—1987)的研究最為卓著。他在1926年推導了弱大數(shù)定律成立的充分必要條件,后又對博雷爾提出的強大數(shù)定律給出了一般結果。
許寶騄進一步加強了強大數(shù)定律的結論。其結果為:設X1 , X2 , ⋯, Xn , ⋯是獨立同分布均值為零、方差有限的隨機變量序列,任給ε﹥ 0,有Σ∞n =1P 1n| X1 + X2 + ⋯ Xn | ﹥ε ﹤ ∞證明是經(jīng)過一個卷積的富立葉逆轉,把問題轉化為含有特征函數(shù)某個積分的分片估計,這需要具有相當深厚的數(shù)學功底和敏銳的數(shù)學眼光才能完成。由于推證較復雜,盡管已經(jīng)得出關于矩的充要條件,但在刊出時刪去了必要性的證明[ 4 ] 。
概率論中的極限定理研究的是隨機變量序列的某種收斂性,對隨機變量收斂性的不同定義將導致不同的極限定理。許寶騄在“依分布收斂”、“依概率收斂”、“r2階收斂”和“依概率1收斂”的基礎上,創(chuàng)造性地提出“完全收斂性”概念,開辟了概率論極限理論研究的新局面。直到今天,對完全收斂性的討論仍是一個有意義的課題,這就足以表明該文的開創(chuàng)性價值。正如許寶騄所說:“一篇論文不能因為獲得發(fā)表就有了價值。其真正價值要看發(fā)表后被引用的狀況來評價。”[ 1 ] 許寶騄對中心極限定理也進行了較為深入的研究�！爸行臉O限定理”這個術語是由波利亞(G. Polya, 1887—1985) 1920年引入的。 該定理斷言在適當條件下,大量獨立隨機變量和的概率分布近似于正態(tài)分布。在長達兩個世紀的時間內(nèi)極限定理成了概率論的中心課題。
1733年,棣莫弗(A. De Moivre, 1667—1754)由二項分布的漸進分布推導出正態(tài)分布。較一般的極限定理由拉普拉斯( Pierre2Simon Marquis de Lap lace, 1749—1827)給出,但其證明不完善。
誤差分析是概率論的生長點之一。如果把隨機變量總和中的每項看作是小的“基本誤差”,那么中心極限定理就為觀察誤差中正態(tài)分布的發(fā)生給出一個解釋。19世紀初高斯(C. F. Gauss, 1777—1855)在研究測量誤差時引進了正態(tài)分布,并發(fā)展了具有廣泛應用的最小二乘法。
在許多數(shù)學家為給出中心極限定理嚴格證明所做的努力均告失敗后,切比雪夫使用矩方法的嘗試相當令人鼓舞。馬爾科夫(A. A. Markov, 1856—1922)于1887年第一個用矩方法給出了中心極限定理的嚴格證明。切比雪夫的另一個弟子李雅普諾夫(A. M. Lyapunov, 1857—1918)則從一個全新角度去考察中心極限定理,引入特征函數(shù)這一有力工具,避免了矩方法所要求的高階矩存在的苛刻條件,在1901年給出了定理的完善證明,其證明方法與現(xiàn)在素數(shù)理論中的方法相類似。特征函數(shù)實現(xiàn)了數(shù)學方法的革命,為極限定理的進一步精確化提供了條件。
一個從理論和應用上都應當關心的問題是,僅知道某個概率分布漸近正態(tài)分布是不夠的,還必須知道換成正態(tài)分布后誤差有多大。李雅普諾夫給出這個誤差的一個上限。瑞典數(shù)學家克拉美(H. Cramér, 1893—1985)發(fā)現(xiàn)李雅普諾夫所給余數(shù)的估計在風險問題中是遠遠不夠的,并于1928年改進了結果。1941年,貝萊(A. C. Berry)再次改進了李雅普諾夫的結果。
許寶騄有一本翻破了的克拉美概率著作,書上幾乎寫滿了批注。他認為該書包含了所有概率論的基礎。1945年,許寶騄改進了克拉美定理和貝萊定理,并給出克拉美定理的一個初等證明[ 5 ] 。他以特征函數(shù)為工具,通過12個引理,給出了上述定理的證明。但影響更深遠的結果是他將相應的樣本均值代之以樣本方差。許寶騄說:“關于均值的漸近分布,已知結果如此之多�？寄崴�(Cornish)和費希爾(R. A.Fisher, 1890—1962)通過半不變量獲得了逐步近似于任何隨機變量分布的各項。若把考尼斯和費希爾的形式結果轉化為一條漸近展開的數(shù)學定理,它能給出剩余項大小的階。在本文中,樣本方差就做到了這一步�！盵 5 ]
這里許寶騄第一個討論了樣本方差的漸近展開,給出余項階的估計。他直接引進了一個新維數(shù),用特征函數(shù)來近似隨機向量的分布,其難點是用特征函數(shù)來近似兩個高度相關的隨機變量的分布。他對特征函數(shù)的應用已經(jīng)達到爐火純青的境界,在不少論文中對這一技（未完，下一頁）
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